σύνολο

Στα μαθηματικά, με τον όρο αυτό εννοούμε «κάθε συλλογή από αντικείμενα καθορισμένα και τελείως διακεκριμένα μεταξύ τους, που τη θεωρούμε ως ένα όλο». Η διατύπωση αυτή οφείλεται στο δημιουργό της θεωρίας των σ. Γκέοργκ Κάντορ (1845-1918). Ο όρος «αντικείμενο» σημαίνει εδώ οτιδήποτε «από τον κόσμο είτε από την εμπειρία μας είτε από τα διανοήματά μας». Καθένα από τα αντικείμενα, που αποτελούν ένα σ., λέμε ότι είναι ένα στοιχείο του. Τα σ. συμβολίζονται συνήθως με κεφαλαία γράμματα, A, B, X, ..., ενώ τα στοιχεία τους με πεζά α, β, x,... Η δήλωση: το αντικείμενο x είναι στοιχείο του σ. Α συμβολίζεται: x E Α (διαβάζουμε: το x ανήκει στο (είτε: είναι στοιχείο του A). H άρνηση της προηγούμενης δήλωσης συμβολίζεται: x∉Α (το χ δεν ανήκει στο σ. Α). Έστω ότι A, E συμβολίζουν σύνολα· θα λέμε ότι το Α είναι ένα υποσύνολο (είτε ένα μέρος) του σ. Ε και θα γράφουμε: A Ε, εάν και μόνο για κάθε x  Α συνεπάγεται ότι ισχύει και x  Ε. Έστω A  Ε το σ. των x  Ε με την ιδιότητα x ∉ Α λέμε ότι είναι: το συμπλήρωμα του Α ως προς το Ε και το συμβολίζουμε: A^c είτε E-A (διαβάζοντας το και Ε πλην Α). Αν είναι A  Ε, δεν αποκλείεται από τον ορισμό του υποσύνολου να είναι το Α το αυτό με το Ε, συμβολικά: A = Ε, δηλαδή να έχουν τα Α και Ε τα αυτά στοιχεία [να είναι, δηλαδή, Α και Ε διαφορετικά «ονόματα» ενός και του αυτού σ]. Για να έχει έννοια ο ορισμός του συμπληρώματος και στην περίπτωση A = Ε, εισάγουμε την έννοια ενός συμβατικού (ιδεατού) «σ. χωρίς στοιχεία». Το σ. αυτό λέμε ότι είναι το κενό σ. και το συμβολίζουμε: ∅. Έστω A  Β· γράφουμε τότε, με την αυτή σημασία και: Β  Α και διαβάζουμε: το Β είναι υπερσύνολο του Α. Τα σύμβολα ,  λέγονται και σύμβολα του εγκλεισμού, γιατί ο συμβολισμός A  Β διαβάζεται και έτσι: το σύνολο Α εγκλείεται (περιέχεται) στο σύνολο Β. Οι αρνήσεις των δηλώσεων A ⊂ Β, Β ⊃ Α συμβολίζονται αντίστοιχα με: Α ⊄ Β (Α δεν είναι υποσύνολο του Β), Β ⊄ A (B δεν είναι υπερσύνολο του Α). Έστω Ε ένα σ., διάφορο από το ∅· ορίζεται τότε ένα (και μόνο) σ., που χαρακτηρίζεται ως το σ. όλων των υποσυνόλων του Ε είτε: το δυναμοσύνολο του Ε και συμβολίζεται με Ρ (Ε). Μέσα στο σ. αυτό ορίζονται δυο πράξεις, η ένωση, ∪ και η τομή, ∩. Έστω A⊂E, B⊂E (δηλ. A ∈ P (Ε), B ∈ P (Ε))· τότε 1) ονομάζεται: ένωση του Α με το Β, συμβολικά: A∪B, το σ. των x∈E, δηλαδή το υποσύνολο του Ε, με την ιδιότητα ότι το x ανήκει σ’ ένα τουλάχιστο από τα σ. A,B: απ’ εδώ «συνάγεται» και ότι ∪∅ = /· 2) ονομάζεται: τομή του Α με το Β, συμβολικά: Α∩Β, το σ. των x ∈ Ε (δηλ. το υποσύνολο του Ε), με την ιδιότητα ότι το x ανήκει στο Α και στο Β: απ’ εδώ «συνάγεται» και ότι ∅∩ X = X ∩ ∅ = ∅ δια κάθε σ. X, υποσύνολο του Ε. Είναι φανερό ότι ισχύουν: A ∪ A = A, A ∪ Β = Β ∪ A, A ∪ (Β ∪ Γ) = (A ∪ B)∪Γ, Α ∩ A = Α, Α ∩ Β = Β ∩ Α, Α ∩ (Β ∩ Γ) = (Α ∩ B)∩Γ, δηλαδή οι πράξεις «∪», «∩» είναι αδύναμες («ταυτοδύναμες»), μεταθετικές και προσεταιριστικές. Έτσι το σ. P(E) εφοδιασμένο με τις δυο προηγούμενες πράξεις αποτελεί έναν σύνδεσμο. Ισχύουν ακόμα οι ιδιότητες: A ∪ (Β ∩ Γ) = (A ∪ Β) ∩ (A ∪ Γ), Α ∩ (Β ∪ Γ) = (Α ∩ Β) U (Α ∩ Γ), δηλαδή καθεμιά από τις δυο προηγούμενες πράξεις είναι επιμεριστική ως προς την άλλη. Αυτό σημαίνει ότι ο σύνδεσμος, για τον οποίο έγινε ήδη λόγος, είναι επιμεριστικός. Η θεωρία των σ. που θεμελιώθηκε –όπως ήδη αναφέραμε στην αρχή– από τον Κάντορ, είναι ένα αξιοθαύμαστο λογικό σύστημα και θεωρείται μία από τις πιο υψηλές δημιουργίες του ανθρώπινου πνεύματος, ανεξάρτητα από τη σπουδαιότητα και την επίδρασή της σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών. Πραγματικά, η θεωρία αυτή όχι μόνο άλλαξε τη μορφή των μαθηματικών και τους έδωσε τη σημερινή ομορφιά τους, αλλά συγχρόνως έπαιξε σπουδαίο ρόλο για την πρόοδό τους και στάθηκε η αφετηρία και η πηγή νέων κλάδων των μαθηματικών, ενώ παράλληλα επίδρασε σημαντικά στις έρευνες για τη θεμελίωσή τους. Ο Ντάβιντ Χίλμπερτ έγραψε σ’ ένα από τα βιβλία του (Βάσεις της Γεωμετρίας - Grundlagen der Geometrie, 1899) ότι: «από τον παράδεισο, που έφτιαξε για μας ο Γ. Κάντορ, τίποτε δεν θα μπορέσει να μας βγάλει» και εννοούσε τη θεωρία των σ. Κατά την πορεία για τη θεμελίωση της θεωρίας των σ. παρουσιάστηκαν ορισμένα παράδοξα («αντινομίες»). Απ’ αυτά απαλλασσόμαστε, αν στη μελέτη κάθε θέματος καθορίζουμε το «σ. αναφοράς» μας και αναφέρουμε τη σχετική έρευνα στο σ. των υποσυνόλων αυτού του σ. Σημειώνουμε, ενδεικτικά, ότι μια αντινομία παρουσιάζεται, αν δεχτούμε ότι η διατύπωση: το σ. όλων των σ. χαρακτηρίζει ένα σ. Αποδείχνεται ότι ένα τέτοιο σ. δεν υπάρχει. Αν A, B δηλώνουν σ., διαφορετικά από το ∅, λέμε ότι το Α έχει την αυτή ισχύ είτε τον αυτό πληθάριθμο με το Β, εάν και μόνο υπάρχει μια ένα με ένα αντιστοιχία του Α στο Β: αν, ειδικά, το Α είναι το σ. των φυσικών αριθμών, τότε λέμε ότι το Β είναι αριθμήσιμο, ενώ αν το Α είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών, τότε λέμε ότι το Β έχει την ισχύ του συνεχούς. Οι βασικές έννοιες για τα σ. εισάγονται σήμερα ακόμα και στο Δημοτικό σχολείο και δίνουν μια σύγχρονη μορφή στη στοιχειώδη διδασκαλία, που την επιτρέπει να φτάνει σε πιο μακρινούς στόχους από ό,τι στο παρελθόν. Πάνω η ένωση, κάτω η τομή.

* * *

το, Ν

1. το όλο πλήθος ενός αριθμού προσώπων ή πραγμάτων, πολλά πρόσωπα ή πράγματα λαμβανόμενα ως ενιαία ολότητα (α. «το σύνολο τών εσόδων και εξόδων τής επιχείρησης» β. «το σύνολο τών στρατιωτικών δυνάμεων τής χώρας»)

2. μαθημ. άπειρο ή πεπερασμένο πλήθος διακεκριμένων οντοτήτων, τών στοιχείων, λαμβανόμενων ως ενιαία ολότητα, το οποίο δίδεται είτε με την υπόδειξή τους είτε με την κατάδειξη μιας κοινής και αποκλειστικά δικής τους χαρακτηριστικής ιδιότητας που επιτρέπει να αποφανθεί κανείς αν ένα ορισμένο στοιχείο ανήκει στο θεωρούμενο σύνολο (α. «το σύνολο τών βιβλίων τής πανεπιστημιακής βιβλιοθήκης» β. «το σύνολο τών πραγματικών αριθμών»)

3. πλήρης συνδυασμός ενδυμασίας («είδα ένα ωραίο σύνολο στο γειτονικό κατάστημα»)

4. (ως επίρρ.) συνολικά

5. φρ. α) «εν [τω] συνόλω» — συνολικά

β) «θεωρία τών συνόλων»

μαθημ. κλάδος τών μαθηματικών που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη τών συνόλων και τών πράξεων που μπορούν να εκτελεστούν σ' αυτά

γ) «πεπερασμένο σύνολο»

μαθημ. σύνολο που περιέχει πεπερασμένο αριθμό στοιχείων, όπως είναι λ.χ. οι διαιρέτες ενός αριθμού

δ) «άπειρο σύνολο»

μαθημ. σύνολο που περιέχει άπειρο αριθμό στοιχείων, όπως είναι λ.χ. το σύνολο τών πολλαπλασίων ενός αριθμού

ε) «αριθμήσιμο σύνολο»

μαθημ. σύνολο τού οποίου τα στοιχεία μπορούν να αντιστοιχηθούν αμφιμονοσήμαντα με τα στοιχεία τού συνόλου τών φυσικών αριθμών

στ) «κενό σύνολο»

μαθημ. σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο και συμβολίζεται ως O, αλλ. μηδενικό σύνολο

ζ) «ισοδύναμο σύνολο»

μαθημ. σύνολο τού οποίου τα στοιχεία είναι ένα προς ένα αντίστοιχα με τα στοιχεία ενός άλλου συνόλου

η) «κλειστό σύνολο»

μαθημ. σύνολο τού οποίου η παράγωγος είναι υποσύνολο τού συνόλου αυτού

θ) «διατεταγμένο σύνολο»

μαθημ. σύνολο στο οποίο έχει οριστεί μια σχέση διάταξης, μερική ή γνήσια

ι) «καθολικό σύνολο Ω»

μαθημ. το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία μιας καθορισμένης κλάσης αντικειμένων, όπως είναι λ.χ. τα γράμματα τού ελληνικού αλφαβήτου

ια) «παράγωγος συνόλου»

μαθημ. το σύνολο τών σημείων συσσώρευσης τού δοθέντος συνόλου

ιβ) «οικογένεια συνόλων»

μαθημ. σύνολο τού οποίου τα στοιχεία είναι μόνον σύνολα.

[ΕΤΥΜΟΛ. Ουσιαστικοποιημένος τ. τού ουδ. τού επιθ. σύνολος. Η λ., στον πληθ. σύνολα, μαρτυρείται από το 1894 στην εφημερίδα Εστία Χριστουγεννιάτικη].